|
Как и всякая другая волна, электронная волна Y
(
x
,
t
)
может быть стоячей волной. Для этого нам необходимо сложить две волны с одинаковыми амплитудами, движущиеся навстречу друг другу:
  .
Волна как волна, с узлами и пучностями, но вместо, скажем, закрепленных концов струны в точках с координатами x=-l/2
и x=+l/2нам при значениях координат x
£
-l/2
и x
³
+l/2
нужно иметь U=
¥
- правее и левее выделенного интервала возможно решением будет  . Используя условие непрерывности Y
-функции, можно определить значение (комплексной) амплитуды y
0
.
Для простоты внутри интервала будем считать U=0
. Ведь потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы.
Для существования стоячей волны необходимо выполнение условия  и, следовательно, при U=0
будет:
 ;  .
Мы получили весьма важный результат: электрон в состоянии стоячей волны может иметь лишь вполне определенные дискретные значения энергии En
. Энергия электрона квантуется! И при этом минимальное значение его энергии определяется линейными размерами потенциальной ямы, что существенно для дальнейшего. |
 
0
x
U=
¥
U=0 U=
¥
U=0 U=
¥
U=0 |
Любопытно провести такое исследование полученного результата. Подсчитаем силу, с которой электрон действует на стенку потенциальной ямы.
Очевидно,
 .
А теперь попробуем получить выражение для силы Fx
на основе корпускулярных представлений. При отражении электрона от стенки последней будет передан импульс 2p
. При этом частота ударов определяется временем движения электрона между ударами
 .
Выражение для силы мы получим, если разделим переданный импульс на это время:  .
Мы получили для силы то же значение, но это не означает, что в этой задаче волновой и корпускулярных подходы равноправны. При корпускулярном рассмотрении энергия электрона E
произвольна, при волновом - она квантуется.
Поэтому, хотя волновое представление для нас, может, в чем-то не до конца понятно, корпускулярное представление следует назвать просто непонятным. При его использовании мы не сможем объяснить квантование энергии электрона.
К задаче о стоячих волнах Y
-функций мы еще вернемся, а сейчас просто необходимо поговорить о смысле этой функции.
|
