Задано некоторое поле , в какой-то точке пространства задан вектор . В окрестности этой точки выбираем площадку dS, площадку ориентированную, её ориентация характеризуется вектором . Тогда конструкция называется поток вектора через площадку dS. При этом площадка настолько мала, что вектор может считаться в пределах этой площадки постоянным.

Теперь ситуация другая. Рассмотрим некоторый кусок поверхности. Эту поверхность разбиваем на элементы. Вот, например, выделенный элемент под номером i, его площадь DSi, его нормаль . Где-то в пределах элемента выбираем вектор , сам элемент задаётся радиус-вектором , то есть какая-то точка внутри элемента имеет радиус-вектор . Сумма по всем элементам поверхности образует такую сумму: , а теперь предел обозначается так: .

Ну, это стандартный опять приём: интеграл есть предел суммы по определению, предел этой суммы называется поток вектора через поверхность S.

Так, если дует ветер, в каждой точке некоторой поверхности определён вектор скорости, тогда поток вектора скорости по этой поверхности - будет объём воздуха, проходящего через поверхность за единицу времени. Если векторное поле не поле скоростей, а нечто другое, то ничего там не течёт. Это есть некий термин, и не надо понимать его буквально.

Если поверхность замкнута, то разобьём её на маленькие элементы. Но берётся ограничение: вектор нормали выбирается наружу (выбор нормали влияет на знак). Если поверхность замкнута, то нормаль берётся наружу, а соответствующий интеграл снабжается кружочком. Это, что касается термина поток.

Если - поле скоростей, то скалярное произведение отрицательно (см. рис.2.2 цифра 1), это газ или воздух, втекающий в поверхность. А берём площадку 2, здесь поток положительный, это воздух, вытекающий из поверхности. Если мы вычислим такую штуку для потока скорости ветра через замкнутую поверхность, (это будет разность воздуха втекающего и вытекающего) и, если течение стационарное, то есть скорость со временем не меняется, то такой интеграл будет равен нулю, хотя и не всегда.