Вы знаете векторную алгебру (линейную алгебру), и заодно вы увидите, что не зря вы её изучали, оказывается, есть к чему её применить.

Обозначения:

– вектор a в n-мерном (может быть, бесконечномерном) абстрактном пространстве. Столбец из n чисел задаёт компоненты вектора a в n-мерном пространстве. Когда вы видите такую штуку , это означает, что мы имеем набор n чисел, которые можно организовать в матрицу-столбец.

– вектор сопряжённый , это матрица-строка .3)

Удобство этих обозначений состоит вот в следующем: – это число, скалярное произведение двух векторов: . Ясно, что такая штука – скалярное произведение вектора на сопряжённый ему вектор, это будет действительное число, . А вообще, кстати, ясно следующее, что .

Такое равенство расшифровывается так: есть правило, которое вектору ставит в соответствие вектор , и это правило обозначают буквой . Говорят, на вектор действует некоторый оператор, в результате действия которого, мы получаем вектор .

Если имеет место такое равенство , то оператор называется линейным.1) Дальше, когда идёт речь об операторах, имеются в виду только линейные операторы.

Каким образом можно задать это правило, то есть как можно задать оператор? Если оператор линейный, то вот такой строчкой: . Эта строчка – сжатое изображение вот такого: . Значит, любой линейный оператор будет представлен квадратной матрицей размерности . Задайте квадратную таблицу , любых чисел навтыкайте туда, эта матрица представляет линейный оператор.

Любая матрица представляет некоторый оператор , из неё можно получить другие матрицы, например, можем устроить транспонированную матрицу (отобразить её относительно главной диагонали), получим другую матрицу, то есть другой оператор. Можно не только сделать транспонированную матрицу, а сначала транспонировать и взять ещё комплексно сопряжённые элементы, ещё одну матрицу получим, получим другой оператор снова.

Если матрица оператора получается из элементов матрицы оператора с помощью транспонирования и комплексного сопряжения элементов: , то оператор называется эрмитово сопряжённым к оператору .

Если , тогда оператор называется самосопряжённым или эрмитовым.1)

Если , где α – число, то вектор называется собственным вектором оператора , а α – собственным значением, отвечающим этому собственному вектору.2)

Оказывается, что эрмитов оператор , то есть оператор, для которого верно вот такое равенство , имеет n собственных векторов, которые будем обозначать , при этом собственные значения, отвечающие этим векторам действительны, то есть и . И ещё замечательная вещь такая: скалярное произведение двух собственных векторов равно: , собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения действительны. Это наш реквизит, это факты математические, а теперь возвращаемся к физике.