Пусть , т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда . Гамильтониан в координатном представлении имеет вид . Пишем уравнение на собственные векторы:

В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид

,

где содержит слагаемые с производными по переменным и .

Можно показать, что оператор квадрата импульса и гамильтониан коммутируют: . Физически это означает, что L2 сохраняется. И тоже, значит операторы имеют общие собственные векторы.

Положительно заряжённое ядро создаёт поле или в более общем виде . Вектор , где , , , будет решением уравнения на собственные векторы гамильтониана, при чём

Вектору в координатном представлении отвечает функция .

Стационарное состояние электрона в атоме водорода задаётся тремя числами n, l, m, эти числа определяют энергию En, момент и проекцию импульса соответствующие этому состоянию, при чём . Это вследствие того, что .

Бор постулировал, что существуют орбиты, на которых электроны не излучают и ещё

1) , где n – номер орбиты,

2) .

Из этих постулатов следует, что

и .

При Z = 1 (водород) и n = 1 .