|
А теперь мы можем ответить на вопрос о том, сколько состояний приходится на заданный интервал энергии. Для частицы с массой m  . В k-пространстве энергии E отвечает сфера радиуса  , и тогда все точки k-пространства, которые находятся внутри этой сферы, отвечают состояниям, энергия которых меньше E. Тогда число состояний с энергией в интервале [0, E] это будет объём сферы, делённый на объём, приходящийся на одно состояние.
Число состояний NE с энергиями в интервале [0, E], будет равняться
 , где V = L3
А тогда число состояний в интервале  мы получим просто дифференцированием:
Тогда число частиц, для которых  , равно
Это не то, что нас интересует. Это не распределение по энергиям – это распределение по волновым числам. А теперь мы вернёмся к распределению по энергиям.
Фермионы с массой m.
 , нам теперь надо просто перейти от k к E.
  .
На самом деле, мы это учли движение частицы в целом, частица может иметь ещё внутренние состояния, связанные с её спином, тогда эта формула подправится, и мы напишем так:
Этот множитель 2(j+1) – это число проекций спина на выбранную ось. Для электронов  и 2j+1 = 2, то есть число состояний удваивается, тогда для идеального фермионного газа распределение по энергиям выглядит так:
Такой множитель запоминать это безумие, важно, что функция распределения (что вы должны помнить, придя на экзамен)
На что похожа эта функция?
Интеграл  должен равняться полному числу частиц N. Для фермионного газа  , если этот интеграл взять, можно определить  .
|
