Как определяется плотность тока? Берём маленький объём пространства, в пределах этого объёма вычисляем заряд частицы на скорость частицы, суммируем все эти вещи в пределах объёма, делим полученную величину на величину объёма – это есть плотность тока. Для нашего случая (для электрона в твёрдом теле) тогда напишем

Теперь от суммирования перейдём к интегралу: , множитель 2 вводится потому, что в одном состоянии может быть две частицы с антипараллельными спинами. Тогда получаем такой результат для плотности тока:

Здесь интегрирование ведётся по занятым состояниям . А теперь математический факт:

это следствие того, что .1)

Мораль из этого математического факта такая: электроны в полностью заполненной зоне не дают вклада в проводимость, т.е. ток, соответствующий им, равен нулю.

«Дырки»

Отсюда мы видим, что . Это означает, что плотность тока можно вычислять либо суммируя соответствующие выражения по занятым состояниям, либо суммировать по свободным состояниям, но, беря e со знаком (+). Это математическое обстоятельство и приводит к концепции дырок. Мы в зоне имеем занятые электронные состояния, и если зона заполнена не полностью, то эти электроны дают вклад в проводимость, мы скорость каждого электрона умножаем на его заряд -e и получаем ток, - с таким же успехом мы могли бы суммировать по свободным состояниям, которые остались пустыми в зоне, умножать скорости, отвечающие свободным состояниям (хотя там никого нет) на заряд +e и считать, что у нас имеются не электроны отрицательные, а положительно заряженные частицы в этих свободных состояниях. Ну, а свободные состояния называются дырками, по вполне понятным причинам, и мы можем считать, что ток тогда обеспечивается либо электронами, которые занимают определённые состояния, либо – как зеркальное отражение этого дела – положительно заряженными частицами, отвечающими свободным состояниям, или дырками.

Заметьте, у нас электрон здесь не частица, это некоторая математическая конструкция вот с тем квазиимпульсом, который чувствует только внешнее поле. Эти наши частицы ведут себя именно как частицы в пустом пространстве. Для того, что называется электронами в твёрдом теле, кристаллическая решётка это то же самое, что вакуум для настоящего электрона.

Из всей этой математики следует, что сопротивление равно нулю. Сопротивление, на самом деле, имеется за счёт того, что решётка обычно искажена, в частности за счёт теплового движения.