Для того, чтобы количественно описать зависимость продольной вязкости от градиента скорости растяжения необходимо использовать какую-либо модель вязкоупругого тела. Типичным примером является поведение вязкоупругой жидкости с одним временем релаксации О (максвелловская модель) при одноосном растяжении, в которой возможность больших деформаций учитывается так же, как и при рассмотрении влияния больших деформаций на напряжения, возникающие при установившемся сдвиговом течении, заменой частной производной по времени теми или иными дифференциальными операторами, описывающими перемещение точки и связанной с ней системы координат при деформациях в пространстве.

Итак, пусть реологическое уравнение состояния вязкоупругой жидкости записывается в виде операторного уравнения:

(1.10)

где D — некий дифференциальный оператор; σ’ij — компоненты девиатора тензора напряжений; γ’ij — компоненты тензора скоростей деформаций (тензор {γ’} представляет собой девиатор, ибо его первый инвариант равен нулю).

В установившемся течении при растяжении с постоянным продольным градиентом скорости έ0 диагональные компоненты тензора {у’} равны у’11 =έ0,y’22 = у’33 = -έ0/2 , а все недиагональные компоненты -нулю.

Пусть D — это линейный оператор Олдройда. Тогда для режима установившегося течения, при dσ11/dt=0, уравнение состояния (1.10) распадается на три следующие равенства:

(1.11)

Для того, чтобы получить отсюда значение напряжения σ11 надо воспользоваться равенством σii=-p+σ’i и, пренебрегая силами поверхностного натяжения, записать, что

Исходя из первого уравнения системы (1.11) следует,что гидростатическое давление (отнюдь не равное внешнему) выражается через градиент скорости

Исходя из первого уравнения системы (1.11), можно получить

Отсюда следует, что продольная вязкость при растяжении выражается как функция градиента скорости

(1.12)

Теория предсказывает, что при низких продольных градиентах скорости растяжения (при έ0«1/θ) значение λ=Зη=λ0, но при возрастании градиента скорости продольная вязкость монотонно увеличивается, и при έ0—> θ/2 продольная вязкость неограниченно возрастает: λ—>∞. При градиентах скорости, больших θ/2,установившееся течение при растяжении вообще оказывается невозможным.

Рассмотрим случай одноосного сжатия, по кинематике обратный одноосному растяжению. Для обычной вязкой жидкости при замене растяжения сжатием все реологические характеристики среды (с точностью до знака) остаются неизменными. Но для вязкоупругой среды сжатие не является процессом, обратным растяжению. Это видно из приведенных ниже соотношений. Сжатию отвечает тензор скоростей деформации

поэтому уравнения (1.11) заменяются следующей системой:

(1.13)

Повторяя все вычисления, проделанные для деформации одноосного растяжения, и определяя вязкость при сжатии λ точно так же, как при любых других режимах деформации отношением (σ11/έ0) можно найти, что