Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представ­ляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выпол­няется закон сохранения момента импульса, если опреде­лять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы про­ходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относи­тельно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L

= const.

(где L –

вектор момента импульса, а K

момент силы K

= [rF

]. Уравнение получается из уравнения L

= [rp

]. Определим производную по времени от момента импуль­са частицы. Согласно правилу дифференцирования произ­ведения имеем

Так как - есть скорость v

частицы, а p

= mv

, то первый член есть m [vv

] и равен нулю, поскольку равно нулю век­торное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действую­щая на частицу сила F

. Таким образом, .)

Поскольку момент L

= m[rv

] перпендикулярен направ­лению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L

следует, что при движении частицы ее радиус-вектор дол­жен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L

. Таким образом, в цент­ральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds

- вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов гео­метрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же парал­лелограмма, построенного на векторах ds

и r

, есть удвоен­ная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором движущейся точки за вре­мя dt. Обозначив эту площадь через dS, мож­но записать величину момента в виде

Величина называется секториальной ско­ростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом матери­альных точек - так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обе­их частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс час­тиц равен нулю:

m1v

1+m2v

2=0,

где v

1,v

2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц