В качестве примера возникновения самоорганизации возьмем переход ламинарного течения жидкости в турбулентное. Рассмотрим воду при термодинамическом равновесии, при малых и при больших отклонениях от равновесия. Проблемы перехода к турбулентности важны для практики, для гидро- и аэромеханики, и эти проблемы неоднократно решались в рамках физики, механики и математики многими учеными, но точного описания нет до сих пор. В теории обычно имеют дело с безразмерным параметром - числом Рейнольдса Re,

введенным в 1883 г. Безразмерный параметр ReОс-борн Рейнольдс (1842 -1912) связал с режимом течения. Гидродинамические теории с использованием числа Re

развивали русские ученые Николай Егорович Жуковский (1847-1921), Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869-1942) и другие. По определению он равен скорости потока , умноженной на характерный линейный размер, фигурирующий в задаче , который делится на вязкость среды, отнесенную к плотности .

Одна из наиболее стройных теорий перехода к турбулентности была построена в 1944г Ландау. Термин "турбулентность" ввел еще Кельвин, производя его от латинского "turbulentus " (беспорядочный). Пока нет простой математической модели турбулентных движений, которые оказались связанными с нелинейностью

При равновесии, если система замкнута и скорость потока = 0, ее энтропия максимальна. При нарушении равновесия путем создания, например градиента давления, жидкость начнет двигаться в сторону меньших давлений, причем движение ее будет происходить как бы слоями, параллельными направлению течения (ламинарное течение). Потоки и термодинамические силы связаны линейными соотношениями, производство энтропии в стационарном состоянии (течении) минимально. При малых значениях числа Re

существует единственная стационарная картина течения, соответствующая ламинарному течению (рис. 1, а). Небольшие отклонения в скоростях движения от стационарных значении, возникающие из-за флуктуаций, экспоненциально затухают со временем, появляется пара вихрей (рис 1,6).

При увеличении скорости потока выше критической некоторые из малых возмущений перестают затухать, система теряет устойчивость и переходит в новый режим, вихри начинают осциллировать (рис. 1,в), движение жидкости становится турбулентным(рис. 1,г). Линейная зависимость потоков и сил нарушается, перестает выполняться и теорема Пригожина о минимальном приросте энтропии, хотя картина носит еще стационарный характер. В этом случае говорят о первой бифуркации, или бифуркации Хопфа. При увеличении числа Рейнольдса новый периодический режим вновь теряет устойчивость, возникают незатухающие колебания с частотой, определяемой величиной Re

. С ростом неравновесности должно возрастать число корреляций и параметров, характеризующих систему. При переходе к турбулентному режиму между отдельными областями течения возникают новые корреляции, новые макроскопические связи. Затем появляются новые частоты, при этом интервал частот сокращается, и, по теории Ландау, появляющиеся новые движения имеют все более мелкие масштабы. Нерегулярное поведение, типичное для турбулентного движения, есть результат бесконечного каскада бифуркаций (рис 1,д).

Так существенно усложняется структура течения и одновременно увеличивается его внутренняя упорядоченность. Это уже не тот беспорядок, который имелся в равновесном состоянии. Существенно меняется характер броуновского движения частиц, турбулентность сказывается на поглощении и рассеянии электромагнитных и звуковых волн. Например, фотографии распределения световой волны, прошедшей через турбулентную жидкость, фиксируют пятна типа интерференционной картины, соответствующей фокусам и каустикам, которые возникают в световом пучке.

Проблема возникновения турбулентности и анализа возникающих неустойчивостей важна не только в связи с инженерными приложениями. Большая часть среды, заполняющей Вселенную, находится в турбулентном движении, поэтому с неустойчивостями сталкиваются в физике атмосферы и астрофизике, в океанологии и физике планет. В 1963 г. метеоролог Э. Лоренц описал новый механизм потери устойчивости, наблюдаемый им в опытах по моделированию процессов возникновения турбулентности в процессе конвекции. Он обнаружил в фазовом пространстве трех измерений (где координатами были скорость и амплитуды двух температурных мод) область, которая как бы притягивала к себе траектории из окрестных областей. Попадая в область, названную Лоренцом "странным аттрактором" (лат. attractio "притяжение"), близкие траектории расходились и образовывали сложную и запутанную структуру. Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, которые очень чувствительны даже к малому изменению начальных условий. Поскольку две близкие траектории разбегаются в фазовом пространстве, то предсказание движения по начальным данным не может быть хорошим. С этим связаны трудности предсказания погоды при отсутствии точных начальных данных. До Лоренца еще в начале 60-х годов советские математики Д. В. Аносов и Я. Г. Синай установили существование областей, обладающих такими свойствами, и исследовали устойчивость явлений в них.