Для вывода кинетического уравнения Больцмана рассмотрим одноатомный идеальный газ, т.е. достаточно разряженный газ, состоящий из электрически нейтральных атомов или молекул. Единственным видом взаимодействия между частицами идеального газа являются столкновения между молекулами, происходящие, однако, настолько редко, что каждая молекула почти всё время движется как свободная. Рассматривая частицы газа как классические, можно утверждать, что на одну частицу приходиться объём . Число частиц в единице объёма есть концентрация . Значит среднее расстояние между частицами есть ( предполагается достаточно большим по сравнению с радиусом действия межмолекулярных сил d). При получении уравнения Больцмана сделаем следующие предположения:

- частицы газа неразличимы (одинаковы);

- частицы сталкиваются только попарно (пренебрегаем столкновением одновременно трех и более частиц);

- непосредственно перед столкновением частицы движутся по одной прямой навстречу друг другу;

- столкновение молекул есть прямой центральный упругий удар;

Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения вероятности (или плотностью вероятности), причём функция распределения не меняется на расстояниях порядка области столкновения частиц. Плотность вероятности определяет вероятность того, что некоторая случайная величина x имеет значение в пределах малого интервала dx следующим образом . Вероятность нахождения величины x в конечном интервале определяется интегрированием .

Функция распределения молекул газа даётся в их фазовом :-пространстве.

есть совокупность обобщённых координат всех молекул; - совокупность обобщённых импульсов молекул. Соответственно

и . Обозначим через

элемент объёма фазового пространства молекулы. В заданном элементе фазового пространства находиться (в среднем) число частиц , равное (т.е. рассматриваются молекулы, значения q и p которых лежат в выделенных интервалах dq и dp). Функция распределения молекул газа выше была определена в фазовом пространстве, тем не менее, она может быть выражена через иные переменные, отличные от обобщённых координат и импульсов частицы. Произведём выбор аргументов функции f.

Рассматривая неравновесный, протекающий во времени, процесс изменения состояния системы, мы очевидно должны считать, что функция распределения зависит от времени. Рассматриваемый газ есть множество частиц, которые мы условились считать классическими.

Поступательное движение классической частицы описывается координатами

центра тяжести частица и вектором скорости или вектором импульса ( , где m – масса частицы). Для одноатомного газа поступательное движение – единственный вид движения частиц; число степеней свободы равно трём. Если частица представляет собой многоатомную молекулу, то возникают дополнительные степени свободы, связанные с вращением молекулы в пространстве и колебанием атомов в молекуле. Условиями применения квантовой механики являются малые массы и высокие концентрации частиц, а так же низкие температуры. Не рассматривая область низких температур, будем считать вращательное движение молекул газа классическим. Любое классическое вращательное движение описывается, прежде всего, вращательным моментом сил, действующих на тело. Под действием момента двухатомная молекула приходит во вращение в плоскости, перпендикулярной вектору момента. Кроме того, положение молекулы характеризуется углом поворота оси молекулы в плоскости вращения.