|
немного преобразуем:
 и получим:
 Данное уравнение будет справедливо при любом  , если коэффициенты при  и  будут равны нулю:
Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы: |
|
(10) | |
|
(11) |
Исследуем выражение (11) на экстремумы. Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (11) будет минимальным. Обозначим  . Запишем условие экстремума подкоренного выражения:
Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при: |
 и
|
(12) | |
 .
|
(13) |
Если производная  , при подстановке корня (12) и (13) будет положительна, то в этом случае подкоренное выражение будет минимальным, а амплитуда – максимальной. Вторая производная от подкоренного выражения равна:
Значение этой производной при равно  а при , равно  . Учитывая, что в колебательных системах, как правило,  , видим, что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы .
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом
.
Таким образом, резонансная частота равна |
|
(14) |
Учитывая это значение, по (10) и (11) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний: |
|
(15) | |
|
(16) |
Из (15) и (16) видно, что при отсутствии трения ( ) амплитуда колебаний при резонансе неограниченно возрастает, а сдвиг фаз между смещением и фазой вынуждающей силой равен  .
Для вынужденных колебаний вводят, так называемые, амплитудо-частотные
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 |
