(зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные

(зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы) характеристики

. Графически эти зависимости при различных значениях приведены на рисунках 5 и 6:

Отметим здесь, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину происходит скачком при . Учет трения размазывает этот скачок.

При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания по закону (7), ее энергия, очевидно, остается неизменной. Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работу над системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря наличию трения.

Пусть обозначает количество энергии, поглощаемой системой в среднем в единицу времени, как функция частоты вынуждающей силы. Эта величина, как известно, равна работе внешней силы за единицу времени, то есть мощности (усредненной затем по времени):

Отсюда, согласно уравнению движения,

Здесь, в (17) и (18), символ обозначает работу.

При усреднении по времени первое и третье слагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно, дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого

Подставляя сюда (8), получаем:

Производя усреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется, поэтому:

Подставляя сюда (11), получим:

Исследуем это выражение на экстремумы. Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальном значении знаменателя. Производная от знаменателя обращается в нуль при .