В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-либо оператора.1) Если взяты собственные векторы оператора , то говорят, что мы работаем в A-представлении. Тогда все векторы и все операторы будут выражаться в этом базисе. Если – оператор координаты, тогда имеет место такое равенство: , – собственный вектор, отвечающий собственному значению q. Если в качестве базисных векторов будут взяты векторы , то есть собственные векторы оператора координат, то значит мы работаем в координатном представлении.

Проблема такая: как связать абстрактное пространство, в котором разыгрываются все эти события, с нашим реальным наблюдаемым миром, в котором мы живём? Как нам отсюда пролезть туда, в этот потусторонний мир, в котором действуют правила игры, которые мы сформулировали. Лазейка такая: чтобы задать вектор в виде набора чисел, надо предъявить базис. Операторы, с которыми мы имеем дело (это эрмитовы операторы), обладают тем свойством, что для них имеется n собственных векторов, эти собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, если в качестве базиса выбрать собственные векторы оператора, то его матрица в этом базисе будет диагональной, а по диагонали будут стоять собственные значения. Собственные значения – это те числа, которые мы получаем при измерении переменной, которую описывает данный оператор. Вот так можно состыковать эти абстрактные математические объекты с реальными наблюдаемыми величинами. Если мы, например, экспериментально исследовали набор собственных значений данного оператора, то мы сразу можем написать его матрицу в базисе его собственных векторов, просто по диагонали расположивши эти собственные значения. Есть законы, которые связывают операторы друг с другом, и если мы нашли один оператор, то просто зная связь между этими операторами, мы можем построить и другие операторы. Мы тогда получим матрицы в том представлении, в котором исходный оператор был диагональным.

Если это оператор координаты, а – собственный вектор этого оператора, отвечающий собственному значению q, то есть имеет место такое соотношение: ,1) оператор действует на собственный вектор, получается тот же собственный вектор, которому отвечает число q.2)

Произведение операторов

Если , то это означает, что действует на некоторый вектор (на любой), это то же самое, что .3) Матрица оператора представится, оказывается, как произведение матриц B и A, то есть .

Произведение операторов, вообще говоря, не коммутативно (потому что произведение матриц не коммутативно), то есть когда мы действуем оператором , а потом или наоборот, сначала , потом , то это разные результаты.4) Разность произведений это некоторый оператор: и называется коммутатором операторов и . Это математические факты, а вот с этим делом связан физический факт, очень существенный.