Переменные, операторы которых не коммутируют (коммутируют), не могут (могут) быть измерены [и заданы] одновременно.

Мы уже сталкивались с такими вещами. Иксовая координата частицы и иксовая компонента импульса x и не могут быть заданы одновременно: нельзя сказать, что частица имеет точно такую координату и имеет такую-то составляющую импульса, есть соотношение неопределённости. Это, кстати, означает, что операторы и не коммутируют.

Утверждение.

Постулируется, что .1)

Но, кстати, например , это означает, что одновременно мы можем задать координату и игрековую составляющую импульса (или зетовую), а вот иксовую задать не можем, и измерить одновременно не можем. Это можно написать в более общем виде: .

Из того, что , следует, что спектр собственных значений оператора координаты непрерывен. Иначе говоря, мы можем задать любое число q, и для него найдётся вектор , который является собственным вектором оператора . Физически это означает, что при измерении координат может быть получено любое число или, ещё проще говоря, координаты не квантуются.2)

Существует координатное представление, когда в качестве базисных векторов выбираются собственные векторы оператора координаты. Произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Если бы эти собственные векторы нумеровались каким-то дискретным параметром , то тогда произвольный вектор представился бы суммой . Но у нас векторы нумеруются непрерывным параметром, это означает, что вместо суммы пишется интеграл: . Как находить коэффициенты разложения? В дискретном случае , а как быть, если параметр, нумерующий вектор, непрерывен? Аналогично: , базисные векторы таковы, что .

функция это функция, удовлетворяющая двум условиям:

1)

2)

функция проникла в математику именно в этой ситуации. Дирак, создатель квантовой теории, он эту функцию и изобрёл, потом в математике появилась целая теория этих функций.

В координатном представлении вектор состояния изобразится интегралом: , где функция – это коэффициенты разложения вектора по базису из собственных векторов оператора координаты, это то, что у нас называлось волновой функцией. Вот таким образом стыкуется то, что раньше говорилось о волновой функции, и её представление в абстрактном пространстве.

Раньше я говорил, что волновая функция описывает состояние частицы с импульсом и с энергией , где . Теперь мы можем изобразить вектор в абстрактном пространстве для этого состояния: . Вот наш вектор выражен через базисные векторы, которые мы обозначаем .1)