А как быть с другими операторами? Пусть у нас для простоты , тогда . Кстати, что получится при действии оператора координаты на этот вектор ? Здесь вы должны довериться просто формализму. Пишем: 2) =. Когда оператор подействовал на вектор , мы получаем новый вектор с другими коэффициентами, и какие же это коэффициенты? А это та же функция , умноженная на x. Таким образом, в координатном представлении действие оператора на функцию сводится просто к умножению этой функции на число, то есть мы можем написать, что в координатном представлении .

Как же импульс? Оператор действует на вектор :

3) =

Таким образом, в координатном представлении действие оператора на функцию приводит к взятию частной производной и умножению её на число , или символически: . В векторной форме: .

И, наконец, последнее. Если мы имеем какую-то функцию координаты и импульса , тогда оператором будет та же самая функция, но взятая от операторов и : .

10

Ещё раз, как можно ткнуть пальцем и предъявить базисные векторы, если мы работаем в абстрактном пространстве? В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-нибудь оператора. В таком базисе этот оператор выражается диагональной матрицей, где по диагонали стоят собственные значения, а собственные значения – это наблюдаемые величины, поэтому, если мы экспериментально определяем собственные значения оператора, то мы его матрицу тут же пишем. Операторы связаны между собой (по теории), тогда другие операторы можно находить через матрицу, которую мы нашли. Это общая программа. Теперь конкретное исполнение.

Рассматривалось специальное представление – в качестве базиса были выбраны собственные векторы оператора координаты (тогда собственные значения этого оператора это просто координаты частицы, которые мы экспериментально можем определять). Из постулируемого коммутационного соотношения можно доказать, что собственные значения оператора координаты непрерывны. Оказывается, что в этом базисе оператор принимает вид , а всякий вектор задаётся функцией, в частности . При этом , если , то , векторы ортогональны. Если функция задаёт компоненты вектора в координатном базисе, то функция задаст компоненты вектора в том же самом базисе, так как