Основная задача вол­новой механики состоит в нахождении волновых функ­ций и связанных с ними физических следствий в самых разно­образных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это - основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нереляти­вистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медлен­ных по сравнению со скоростью света в вакууме.

Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид си­ловых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоян­ная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Сило­вые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособ­лены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, что­бы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерфе­ренцией и дифракцией волн вещества.

При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что од­ним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна.

Дифференцирование (1) по x, y, z даст:

Сложением полученных вторых производных найдем:

Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:

(6)

Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.

Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:

Учитывая (3), находим что , таким образом можно записать:

(7)

Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:

(7*)

Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил, E= p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению