Это выражение часто пишут в комплексном виде:

(13)

подразумевая, что надо принимать во внимание веще­ственную часть этого выражения.

Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой ω=Е/ħ и длиной волны λ = 2πħ/р. Заменяя ω и λ в выражении (13) соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:

(14)

Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (14), воспользуемся соотноше­нием между Е и p:

E= p2/2m. (15)

Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раз дважды по x, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р2 через функ­цию Ψ и ее производные:

Как видим прослеживается полная аналогия с (7*). Подставляя полученные выражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:

Если направление волны не совпадает с осью х (или у, или z), фаза колебаний будет зависеть от всех коор­динат: х, у и z. В этом случае диф­ференциальное уравнение имеет вид:

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера (8) (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационар­ных состояний:

(16)

Это уравнение совпадает с уравнением (12) для случая U = 0.

Таким образом, мы получили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует об­общить уравнение (16) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е сла­гается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.

В случае свободной частицы полная энергия Е сов­падает с кинетической Т, так что величину Е в уравне­нии (16) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для та­кой частицы под величиной Е: полную или только кине­тическую энергию. Если принять, что Е – полная энер­гия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψ не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. По­этому следует признать, что при наличии сил, действую­щих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е –U. Про­изведя такую замену, мы придем к уравнению (12).