Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волно­вая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле

U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность послед­них, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ∞, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0. Непрерывность ψ требует, чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производные же от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.

Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаменталь­ное значение во всем математическом аппарате квантовой меха­ники.

Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотро­пией пространства и принципом относительности Галилея. В клас­сической механике эти требования приводят к квадратичной за­висимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, где по­стоянная т называется массой частицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса – одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение Е = р2/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:

(17)

Подставив сюда оператор импульса , получим гамильтониан свободно движущейся

частицы в виде:

где Δ= д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дz2 — оператор Лапласа.

В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие с внешним полем описывается аддитивным членом в функции Гамильтона – потенциальной энергией взаимодействия U. являю­щейся функцией координат. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие в квантовой механике – гамильтониан для частицы, находящейся во внешнем поле:

(18)

где U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Если поле U (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем прост­ранстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро - как l/rs с s < 2.

Пусть Umin есть минимальное значение функции U(х, у, г). Поскольку гамильтониан частицы есть сумма двух членов – операторов кинетической и потенциальной U энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Ē = + Ū. Но все собственные значения оператора (совпадаю­щего с гамильтонианом свободной частицы) положительны; по­этому и среднее значение > 0. Имея также в виду очевидное не­равенство Ū > Umin, найдем, что и Ē > Umln . Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии: