Тогда сумма

при достаточно малых r0 принимает сколь угодно большие по абсо­лютной величине отрицательные значения. Но если средняя энер­гия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательные собственные значения энергии, сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энергии с большим |Е| соответствует движение частицы в очень малой области пространства вокруг начала координат. «Нормаль­ное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в са­мом начале координат, т. е. произой-дет «падение» частицы в точку r = 0.

Если же s < 2, то энергия не может принимать сколь угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений. Ди­скретный спектр начинается с некоторого конечного отрицательного значения. Падения частицы на центр в этом случае не про­исходит. Обратим внимание на то, что в классической механике падение частицы на центр в принципе возможно во всяком поле притяжения (т. е. при любом положительном s). Далее, исследуем характер энергетического спектра в зависи­мости от поведения поля на больших расстояниях. Предположим, что при r→ ∞ потенциальная энергия, будучи отрицательной, стремится к нулю по степенному закону (20) (в этой формуле теперь r велико). Рассмотрим волновой пакет, «заполняющий» шаровой слой большого радиуса r0 и толщины Δr << r0. Тогда снова порядок величины кинетической энергии будет ħ2/т (Δr)2, а потенциальной: – α/. Будем увеличивать r0 , увеличивая одно­временно и Δr (так, чтобы Δr росло пропорционально r0 ). Если s < 2, то при достаточно больших r0 сумма

ħ2/т (Δr)2 – a/ станет отрицательной. Отсюда следует, что существуют стационар­ные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может с заметной вероятностью находиться на больших расстояниях от начала координат. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолютной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что в области пространства, где U > Е, волновые функции быстро затухают). Таким образом, в рассма­триваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное мно­жество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е = 0.

Если же на бесконечности поле спадает, как – 1/rs с s > 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значением, так что общее число уровней конечно.

Уравнение Шрёдингера для волновых функций ψ стационар­ных состояний, как и накладываемые на его решения условия, – вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбраны вещественными (хотя это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле). Что касается собственных функций невырож­денных значений энергии, то они автоматически оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового множи­теля. В самом деле, ψ* удовлетворяет тому же уравнению, что и ψ, и потому тоже есть собственная функция для того же значения энергии; поэтому если это значение не вырождено, то ψ и ψ* должны быть по существу одинаковыми, т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице). Волновые же функции, соответствующие одному и тому же вырож­денному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функций.